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优化算法 - intro

news 来源：原创 2025/8/22 1:25:06

优化问题

  • 一般形式
    • minimize f ( x ) f(\mathbf{x}) f(x) subject to x ∈ C \mathbf{x} \in C x∈C
  • 目标函数 f : R n → R f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} f:Rn→R
  • 限制集合例子
    • C = { x ∣ h 1 ( x ) = 0 , . . . , h m ( x ) = 0 , g 1 ( x ) ≤ 0 , . . . , g r ( x ) ≤ 0 } C = \{\mathbf{x} | h_1(\mathbf{x}) = 0, ..., h_m(\mathbf{x}) = 0, g_1(\mathbf{x}) \leq 0, ..., g_r(\mathbf{x}) \leq 0\} C={x∣h1​(x)=0,...,hm​(x)=0,g1​(x)≤0,...,gr​(x)≤0}
  • 如果 C = R n C = \mathbb{R}^n C=Rn 那就是不受限

局部最小 vs 全局最小

  • 全局最小 x ∗ \mathbf{x}^* x∗: f ( x ∗ ) ≤ f ( x ) f(\mathbf{x}^*) \leq f(\mathbf{x}) f(x∗)≤f(x) ∀ x ∈ C \mathbf{x} \in C x∈C
  • 局部最小 x ∗ \mathbf{x}^* x∗: 存在 ε \varepsilon ε, 使得 f ( x ∗ ) ≤ f ( x ) f(\mathbf{x}^*) \leq f(\mathbf{x}) f(x∗)≤f(x) ∀ x : ∥ x − x ∗ ∥ ≤ ε \mathbf{x}: \|\mathbf{x} - \mathbf{x}^*\| \leq \varepsilon x:∥x−x∗∥≤ε
  • 使用迭代优化算法来求解，一般只能保证找到局部最小值

在这里插入图片描述

凸集

  • 一个 R n \mathbb{R}^n Rn 的子集 C C C 是凸当且仅当

    α x + ( 1 − α ) y ∈ C \alpha \mathbf{x} + (1 - \alpha) \mathbf{y} \in C αx+(1−α)y∈C

    ∀ α ∈ [ 0 , 1 ] ∀ x , y ∈ C \forall \alpha \in [0,1] \; \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in C ∀α∈[0,1]∀x,y∈C

凸函数

  • 函数 f : C → R f: C \rightarrow \mathbb{R} f:C→R 是凸当且仅当

    f ( α x + ( 1 − α ) y ) f(\alpha \mathbf{x} + (1 - \alpha) \mathbf{y}) f(αx+(1−α)y)

    ≤ α f ( x ) + ( 1 − α ) f ( y ) \leq \alpha f(\mathbf{x}) + (1 - \alpha) f(\mathbf{y}) ≤αf(x)+(1−α)f(y)

    ∀ α ∈ [ 0 , 1 ] ∀ x , y ∈ C \forall \alpha \in [0,1] \; \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in C ∀α∈[0,1]∀x,y∈C

  • 如果 x ≠ y , α ∈ ( 0 , 1 ) \mathbf{x} \neq \mathbf{y}, \alpha \in (0,1) x=y,α∈(0,1) 时不等式严格成立，那么叫严格凸函数

凸函数优化

  • 如果代价函数 f f f 是凸的，且限制集合 C C C 是凸的，那么就是凸优化问题，那么局部最小一定是全局最小
  • 严格凸优化问题有唯一的全局最小
    在这里插入图片描述

凸和非凸例子

  • 凸
    • 线性回归 f ( x ) = ∥ W x − b ∥ 2 2 f(\mathbf{x}) = \|\mathbf{Wx} - \mathbf{b}\|_2^2 f(x)=∥Wx−b∥22​
    • Softmax 回归
  • 非凸：其他
    • MLP, CNN, RNN, attention, …

梯度下降

  • 最简单的迭代求解算法
  • 选取开始点 x 0 \mathbf{x}_0 x0​
  • 对 t = 1 , … , T t = 1, \ldots, T t=1,…,T
    • x t = x t − 1 − η ∇ f ( x t − 1 ) \mathbf{x}_t = \mathbf{x}_{t-1} - \eta \nabla f(\mathbf{x}_{t-1}) xt​=xt−1​−η∇f(xt−1​)
  • η \eta η 叫做学习率

随机梯度下降

  • 有 n n n 个样本时，计算

    f ( x ) = 1 n ∑ i = 0 n ℓ i ( x ) f(\mathbf{x}) = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n} \ell_i(\mathbf{x}) f(x)=n1​∑i=0n​ℓi​(x) 的导数太贵

  • 随机梯度下降在时间 t t t 随机选项样本 t i t_i ti​ 来近似 f ( x ) f(x) f(x)（求导是线性可加的 ）

    x t = x t − 1 − η t ∇ ℓ t i ( x t − 1 ) \mathbf{x}_t = \mathbf{x}_{t-1} - \eta_t \nabla \ell_{t_i}(\mathbf{x}_{t-1}) xt​=xt−1​−ηt​∇ℓti​​(xt−1​)

    E [ ∇ ℓ t i ( x ) ] = E [ ∇ f ( x ) ] \mathbb{E}\left[\nabla \ell_{t_i}(\mathbf{x})\right] = \mathbb{E}[\nabla f(\mathbf{x})] E[∇ℓti​​(x)]=E[∇f(x)]

小批量随机梯度下降

  • 计算单样本的梯度难完全利用硬件资源

  • 小批量随机梯度下降在时间 t t t 采样一个随机子集 I t ⊂ { 1 , . . . , n } I_t \subset \{1, ..., n\} It​⊂{1,...,n} 使得 ∣ I t ∣ = b |I_t| = b ∣It​∣=b

    x t = x t − 1 − η t b ∑ i ∈ I t ∇ ℓ i ( x t − 1 ) \mathbf{x}_t = \mathbf{x}_{t-1} - \frac{\eta_t}{b} \sum_{i \in I_t} \nabla \ell_i(\mathbf{x}_{t-1}) xt​=xt−1​−bηt​​∑i∈It​​∇ℓi​(xt−1​)

  • 同样，这是一个无偏的近似，但降低了方差

    E [ 1 b ∑ i ∈ I t ∇ ℓ i ( x ) ] = ∇ f ( x ) \mathbb{E}\left[\frac{1}{b} \sum_{i \in I_t} \nabla \ell_i(\mathbf{x})\right] = \nabla f(\mathbf{x}) E[b1​∑i∈It​​∇ℓi​(x)]=∇f(x)

冲量法

  • 冲量法使用平滑过的梯度对权重更新

    g t = 1 b ∑ i ∈ I t ∇ ℓ i ( x t − 1 ) \mathbf{g}_t = \frac{1}{b} \sum_{i \in I_t} \nabla \ell_i(\mathbf{x}_{t-1}) gt​=b1​∑i∈It​​∇ℓi​(xt−1​)

    v t = β v t − 1 + g t w t = w t − 1 − η v t \mathbf{v}_t = \beta \mathbf{v}_{t-1} + \mathbf{g}_t \quad \mathbf{w}_t = \mathbf{w}_{t-1} - \eta \mathbf{v}_t vt​=βvt−1​+gt​wt​=wt−1​−ηvt​

    梯度平滑： v t = g t + β g t − 1 + β 2 g t − 2 + β 3 g t − 3 + . . . \mathbf{v}_t = \mathbf{g}_t + \beta \mathbf{g}_{t-1} + \beta^2 \mathbf{g}_{t-2} + \beta^3 \mathbf{g}_{t-3} + ... vt​=gt​+βgt−1​+β2gt−2​+β3gt−3​+...

  • β \beta β 常见取值 [0.5, 0.9, 0.95, 0.99]

Adam

  • 记录 v t = β 1 v t − 1 + ( 1 − β 1 ) g t \mathbf{v}_t = \beta_1 \mathbf{v}_{t-1} + (1 - \beta_1) \mathbf{g}_t vt​=β1​vt−1​+(1−β1​)gt​ 通常 β 1 = 0.9 \beta_1 = 0.9 β1​=0.9

  • 展开 v t = ( 1 − β 1 ) ( g t + β 1 g t − 1 + β 1 2 g t − 2 + β 1 3 g t − 3 + . . . ) \mathbf{v}_t = (1 - \beta_1)(\mathbf{g}_t + \beta_1 \mathbf{g}_{t-1} + \beta_1^2 \mathbf{g}_{t-2} + \beta_1^3 \mathbf{g}_{t-3} + ...) vt​=(1−β1​)(gt​+β1​gt−1​+β12​gt−2​+β13​gt−3​+...)

  • 因为 ∑ i = 0 ∞ β 1 i = 1 1 − β 1 \sum_{i=0}^{\infty} \beta_1^i = \frac{1}{1 - \beta_1} ∑i=0∞​β1i​=1−β1​1​，所以权重和为1

  • 由于 v 0 = 0 \mathbf{v}_0 = 0 v0​=0，且 ∑ i = 0 t β 1 i = 1 − β 1 t 1 − β 1 \sum_{i=0}^{t} \beta_1^i = \frac{1 - \beta_1^t}{1 - \beta_1} ∑i=0t​β1i​=1−β1​1−β1t​​，
    修正 v ^ t = v t 1 − β 1 t \hat{\mathbf{v}}_t = \frac{\mathbf{v}_t}{1 - \beta_1^t} v^t​=1−β1t​vt​​

  • 类似记录 s t = β 2 s t − 1 + ( 1 − β 2 ) g t 2 \mathbf{s}_t = \beta_2 \mathbf{s}_{t-1} + (1 - \beta_2) \mathbf{g}_t^2 st​=β2​st−1​+(1−β2​)gt2​，通常 β 2 = 0.999 \beta_2 = 0.999 β2​=0.999，且修正

    s ^ t = s t 1 − β 2 t \hat{\mathbf{s}}_t = \frac{\mathbf{s}_t}{1 - \beta_2^t} s^t​=1−β2t​st​​

  • 计算重新调整后的梯度 g t ′ = v ^ t s ^ t + ϵ \mathbf{g}'_t = \frac{\hat{\mathbf{v}}_t}{\sqrt{\hat{\mathbf{s}}_t} + \epsilon} gt′​=s^t​ ​+ϵv^t​​

  • 最后更新 w t = w t − 1 − η g t ′ \mathbf{w}_t = \mathbf{w}_{t-1} - \eta \mathbf{g}'_t wt​=wt−1​−ηgt′​

总结

  • 深度学习模型大多是非凸
  • 小批量随机梯度下降是最常用的优化算法
  • 冲量对梯度做平滑
  • Adam对梯度做平滑，且对梯度各个维度值做重新调整

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编程日记 2025/8/19 17:12:17

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当温湿度失控成为企业隐形成本杀手&#xff0c;您是否还在用传统设备疲于应对&#xff1f;一款集智能、精准、全能于一身的神器横空出世——WM102无线温湿度记录仪&#xff0c;用硬核科技重新定义环境监测&#xff01; ▌5大场景痛点 一招破解 无论是医药冷库里的疫苗守护战&am…...

编程日记 2025/8/19 17:12:14

Linux云服务器配置git开发环境

文章目录 1. 安装 git2. git clone3. git add .4. git commit -m 提交记录5. git push&#x1f351; 异常原因&#x1f351; 解决办法 6. git pull7. git log8. git rm9. git mv10. git status 1. 安装 git sudo yum install git -y2. git clone 此命令的作用是从远程仓库把代…...

编程日记 2025/8/19 17:12:11

山东大学软件学院项目实训-基于大模型的模拟面试系统-个人主页头像上传

采用图床的方案&#xff0c;存储用户头像。 实现步骤 引入OSS依赖 在我们的SpringBoot项目中引入OSS依赖 <dependency><groupId>com.aliyun.oss</groupId><artifactId>aliyun-sdk-oss</artifactId><version>3.10.2</version> &l…...

编程日记 2025/8/19 17:12:08

AI智能体|扣子(Coze)实战【天气查询插件开发教程】

大家好&#xff0c;我是偶然&#xff0c;AI洞察&#xff0c;AI智能体&#xff0c;AI实战案例分享 今天教大家用 Coze 开发一个天气插件&#xff0c;本来我是想教大家怎么用 AI 写代码节点实现节点功能的&#xff0c;但是我感觉太复杂了。 起码来说&#xff0c;我还没做到用特别…...

编程日记 2025/8/21 14:17:00

VBA ListBox/ComboBox 响应鼠标滚轮操作

一般情况下&#xff0c;在Excel的vba窗口中&#xff0c;我们是无法使用鼠标滚轮控制例如 ListBox 和 ComboBox 控件的。我们只能通过鼠标点击的方式来逐个选择选项。 我们都知道&#xff0c;通过鼠标滚轮快速的上下滚动候选项&#xff0c;以快速的定位选择选项&#xff0c;这是…...

编程日记 2025/8/19 17:12:01

Linux 更改内存交换 swap 为 zram 压缩，减小磁盘写入

1、查看当前 swap 的方式 swapon --show 我这里是默认的 swap 文件&#xff0c;大小为 2G。 2、安装 zram Ubuntu 下&#xff1a; sudo apt install zram-tools安装后默认会启动&#xff1a; 3、关闭默认的 swap 文件 sudo swapoff /swapfile 其次是关闭 /etc/fstab 中的 …...

编程日记 2025/8/19 17:11:58

TypeScript简介

&#x1f31f; TypeScript入门 TypeScript 是 JavaScript 的超集&#xff0c;由微软开发并维护&#xff0c;通过静态类型检查和现代语言特性&#xff0c;让大型应用开发变得更加可靠和高效。 // 一个简单的 TypeScript 示例 interface User {name: string;age: number;greet():…...

编程日记 2025/8/19 17:11:54

Facebook如何运用AI实现元宇宙的无限可能？

引言 元宇宙&#xff08;Metaverse&#xff09;是一个虚拟的、由多个 3D 虚拟世界组成的网络&#xff0c;用户可以在其中进行互动、游戏、工作和社交。Facebook 作为全球最大的社交媒体平台之一&#xff0c;对元宇宙的构建和实现有着深远的影响。通过运用人工智能&#xff08;…...

编程日记 2025/8/19 11:26:44

【大语言模型ChatGPT+Python】近红外光谱数据分析及机器学习与深度学习建模（近红外光谱数据分析、定性/定量分析模型代码自动生成等）

近红外光谱数据分析是一种重要的分析技术&#xff0c;广泛应用于化学、食品、制药、农业、环境科学等领域。以下是关于近红外光谱数据分析的详细介绍&#xff1a; 一、基本原理 近红外光谱的范围 近红外光谱是指波长范围在780 - 2500纳米的电磁辐射。在这个波段&#xff0c;分子…...

编程日记 2025/8/19 17:11:48