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理解数学概念——支集(支持)(support)

news 来源：原创 2025/7/16 6:45:16

1. 支集(support)的定义

在数学中，一个实函数 f 的支集(support)是函数的不被映射到 0 的元素域(即定义域)的子集。若 f 的(定义)域(domain)是一个拓扑空间(即符合拓扑的集合)，则 f 的支集则定义为包含( f 的元素域中)不被映射到0的所有点之最小闭集。这个概念广泛应用于数学分析中。

支集是一个函数、概率分布或随机变量在其上取非零值的点的集合。换言之，它描述了函数或分布在哪些点上“存在”或“起作用。” 这样的集合称为支集(support)，这样的函数或概率分布则称为受支于(supported)该集合。“支持”可理解为支持“存在或起作用”的集合，在概率论中可理解为“支持度”。

2. 支集的公式化

假设 $f:X \longrightarrow \mathbb{R}$ 是一个其域为任意集合 X 的实函数。则 f 的集合论支集(记为 supp( f ))是 f 在其上取非零值的 X 的点之集合：

supp( f ) = { x∈ X: f (x) ≠ 0 } 。

f 的支集是具有在X之子集的补集上 f 是0 这个属性的最小子集(即在其上全不为零的集合)。若对于除有限数量的点 x∈ X ，有 f (x) = 0 ，则称 f 具有有限支集(即在有限点除处不为0 )。如果集合 X 具有附加结构(例如，拓扑)，则 f 的支集度可以类似地定义为 X 中适当类型的最小子集，使得 f 在其补集上以适当的意义消没。支集的概念也可以自然地扩展到取值范围比 ℝ 更广义的集合的函数，以及其他对象，例如测度或分布。

3. 闭支集

闭支集最常出现在 X 是一个拓扑空间(例如，实线或 n 维 Euclid 空间) 且 $f:X \longrightarrow \mathbb{R}$ 是一个连续的实(或复)函数的情况下。在这种情况下，f 的支集或(闭支集)在拓扑上定义为 X 的在其中非0的子集之闭包(取于X )，即

$\mathsf{supp}( f ) := \mathsf{cl}_{X}(\{ x\in X: f (x) \neq 0 \}) = \overline{f^{-1} (\{0\}^c)}$ 。

由于闭集之交集必为闭集，因此 supp( f ) 是包含 f 的集合论支集的所有闭集之交集。注意，若函数 $f:\mathbb{R}^{n} \supseteq X \longrightarrow \mathbb{R}$ 定义于一个开子集 $X \subseteq \mathbb{R}^{n}$ ，则闭包仍然针对 X 选择，而非针对周围的(ambient) $\mathbb{R}^{n}$ 获取。例如，若 f 定义为

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{l}1-x^{2}(if \:\: |x| < 1) \\ \\ 0(if \:\: |x| \geq 1) \end{array}\right.$ ，

则 f 的支集(或闭支集) supp( f ) 是闭区间 [-1,1] ,因为 f 在开区间 (-1,1)上非零，而这个开集间的闭包是 [-1,1] 。

闭支集的概念通常适用于连续函数，但此定义对于基于拓扑空间的任意实函数或复函数均有意义，一些作者不要求 f ：X ⟶ ℝ 或 f ：X ⟶ ℂ 连续。

4. 紧支集(Compact support)

一个拓扑空间 X 上具有紧支集的函数是那些其闭支集是 X 的一个紧致子集的函数。若 X 是实线(real line)或 n 维 Euclid 空间，则当且仅当一个函数具有有界支集的时候，其具有紧支集，因为当且仅当 $\mathbb{R}^{n}$ 的一个子集闭且有界时，其是紧致的。

例如，上述定义的函数 f ：ℝ ⟶ ℝ 是一个具有紧支集 [-1,1] 的连续函数。若 $f :\mathbb{R}^{n} \longrightarrow \mathbb{R}$ 是一个平滑函数，则因为 f 在开集 $\mathbb{R}^{n}\backslash \mathsf{supp}( f )$ 上恒为零，所有 f 的所有阶偏导数在 $\mathbb{R}^{n}\backslash \mathsf{supp}( f )$ 上也恒等于0 。

紧支集的条件强于在无穷远处消没的条件。例如定义为

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}$

的函数 f ：ℝ ⟶ ℝ 在远穷远处消没，因为随着 | x | ⟶ ∞ 而有 f (x) ⟶0 ，但其支集 ℝ 不是紧致的。

Euclid空间中的实值紧支持平滑函数称为凹凸函数(bump functions)。平滑化算子(Mollifiers)是凹凸函数的一个重要特例，因为它们可以在分布理论中用于通过卷积创建平滑函数序列，从而逼近非平滑(广义)函数。

在理想情况下，具有紧支集的函数在无穷远处趋于零的函数空间中是稠密的，但这一性质需要一些技术工作才能在给定的例子中得到证明。作为更复杂例子的直觉，以及用极限的语言来说，对于任意 ε > 0 ，基于实线 ℝ 的在无穷远处消没的任意函数 f ，可能通过选择 ℝ 的一个合适的紧子集 C 来逼近，使得对于任意 x∈ X ，有

$| f (x) - I_{C} (x)f (x)| < \epsilon$ ,

其中 $I_{C}$ 是 C 的示性函数(indicator function)。紧致拓扑空间上的每一个连续函数都有紧支集，因为紧致空间的每一个闭子集确实是紧的。

5. 基本支集(Essential support)

若 X 是一个具有一个 Borel 测度 μ 的拓扑测度空间(例如，配备了 Lebesgue测度的 $\mathbb{R}^{n}$ 或其一个 Lebesgue 可测子集 )，则我们通常可以求得几乎处处有测度 μ (μ-almost everywhere)(简称为“几乎处处μ” ) 的相等函数。在那种情况下，一个可测函数 f ：X ⟶ ℝ 的基本支集(记为 ess supp( f ))定义为 X 的使得后述条件成立的最小闭子集F，即在 F 之外几乎处处 μ 的 f = 0 。

ess supp( f ):= X \∪{Ω∈X ：Ω 是开集且在 Ω 中几乎处处 μ 的 f = 0 } 。

一个函数 f 的基本支集取决于测度 μ 以及基自身，它可能严格小于闭支集。例如，若 f ：[0,1] ⟶ ℝ 是一个Dirichlet 函数(在非比数上为0，在比率数上为1) ，且[0,1]配备了 Lebesgue测度，则 f 支集是整个区间 [0,1] ，但 f 的基本支集是空，因为 f 是几乎处处等于零函数的函数。

在数学分析中，当一个函数的基本支集与其闭支集不同时，我们几乎总是希望使用其基本支集而非其闭支集，因此 ess supp( f ) 通常简记为 supp( f ) 来指其支集。

6. 推广(Generalization)

若 M 是一个包含 0 的任意集合，则支集的概念立即可推广至函数 f ：X ⟶ M 。支集也可以对具有幺元的任意代数结构定义(例如，群，独异点(monoid)，或组合代数)，在其中幺元元素充当了0的角色。例如，从自然数到整数的函数族 $\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}$ 是整数序列的不可数集。子族 $\{ f \in \mathbb{Z}^\mathbb{N} : f$ 具有有限支集 $\}$ 是仅有有限多个非零项的所有整数序列的可数集。

有限支集函数用于定义代数结构，例如群环和自由 Abel 群。

7. 概率和测度论中的支集

在概率论中，概率分布的支持度(support)可以粗略地理解为服从该分布的随机变量的可能值集合的闭包。然而，在处理定义在 σ代数而非拓扑空间上的一般分布时，需要考虑一些微妙之处。

更一般地，若 X : Ω ⟶ ℝ 是 ( Ω ,ℱ, P ) 上的随机变量，则 X 的支集是使得 $P(X\in \mathbb{R}_{X} ) = 1$ 的最小闭集 $R_{X} \subseteq \mathbb{R}$ 。

然而，在实践中，一个离散随机变量X 的支集通常定义为集合

$R_{X} = \{ x\in \mathbb{R} :P(X = x) > 0 \}$ ，

而一个连续随机变量 X 的支集定义为集合

$R_{X} = \{ x\in \mathbb{R} :f_{X}(x) > 0 \}$ ，

其中 $f_{X}(x)$ 是X 的一个概率密度函数(集合论支集)。注意，词“支集”可以指一个概率密度函数的似然(likelihood)的对数。

8. 分布的支集

我们也可以讨论分布的支集，例如实数轴上的Dirac δ函数δ(x)。在该例中，我们可以考虑试函数F，它是平滑函数，其支集不包括点0 。由于δ(F )(将分布δ作为线性泛函应用于F ) 对于此类函数为0 ，因此我们可以说δ的支集仅为 {0} 。由于实数轴上的测度(包括概率测度)是分布的特例，我们也可以用同样的方式讨论测度的支集。

假设 f 是一个分布函数，且 U 是一个 Euclid 空间中的开集，其使得对于所有检验函数(test function) 𝜙 ，使得 𝜙 的支集包含于 U，f (𝜙) = 0 。则称 f 在 U上消没。现在，若 f 在一个任意开集族 $U_{\alpha}$ 上消没，则对于受支于 $\cup U_{\alpha}$ 上的任意检查函数 𝜙 ，则一个简单的基于 𝜙 的支集的紧致性论证以及一个单式分割也可证明 f (𝜙) = 0 。因此，我们可以定义 f 的支集为在其上 f 消没的最大开集之补集。例如，Dirac δ 函数的支集仅为 {0}。

9. 奇异集(Singular support)

在Fourier分析中，研究分布的奇异支集尤为有趣。它的直观解释是分布在这些点处不再是平滑函数。

例如，Heaviside阶跃函数的Fourier变换除了在x = 0处，最多可以认为是1/x(一个函数)。虽然x = 0显然是一个特殊点，但更准确地说，该分布的变换具有奇异支集

{ 0 }：它不能准确地表示为与具有包括0支集的检验函数相关的函数。它可以表示为Cauchy主值广义积分的应用。

对于多变量分布，奇异支集使我们能够定义波前集(wave front sets)，并从数学分析的角度理解Huygens原理。奇异支集也可用于理解分布理论中的特殊现象，例如尝试“乘以”分布(对Dirac δ 函数进行平方失败——本质上是因为要乘以的分布的奇异集应该是不相交的)。

10. 支集族(Family of supports)

基于一个拓扑空间 X 的一个支集族的抽象概念(适用于层理论(sheaf theory))由 Henri Cartan 定义。在将Poincaré对偶扩展到非紧流形时，“紧支集”思想自然地出现在对偶的一侧；例如参见Alexander–Spanier上同调。

Bredon 在《层理论》(第二版，1997)中给出了这些定义。对于X 的闭子集族 Φ ，若它是下闭的，并且在有限并集下闭合，则其为一个支集族。其范围是 Φ 上的并集。一个仿紧化支集集族进一步满足：Φ 中的任何 Y，在子空间拓扑下，都是仿紧空间；并且 Φ 中存在某个 Z，它是其邻域。若 X 是局部紧空间，假设满足 Hausdorff 秩，则所有紧子集组成的族满足进一步的条件，使其成为仿紧化的。