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X²+1素数问题

news 来源：原创 2025/5/14 5:03:08

X²+1素数问题是与哥德巴赫猜想和孪生素数猜想同时代的著名数学难题。是否有无穷个正整数x，使得x²+1总是素数？其困难程度不亚于哥德巴赫猜想。特别是100多年以来，许许多多一流数论学者对这个问题进行了研究。

X²+1素数

X²+1素数是一个著名的猜想，人们很早就发现了许多正整数的平方加1以后是素数，例如：

1²+1=2，素数；

2²+1=5，素数；

4²+1=17，素数；

6²+1=37，素数；
10²+1=101，素数；
14²+1=197，素数；

16²+1=257，素数；

20²+1=401，是素数；

24²+1=577，是素数；

....。

这种类型素数有多少？是否有无穷个？

这就是X²+1素数猜想。这个问题其实已经有几百年了，仍然没有得到解决。

这个问题为什么著名

1900年，在法国巴黎召开了第二届国际数学家大会，全能的数学大师希尔伯特发表了{未来的数学问题}这个著名的讲演，在第25自然段谈到这个问题，问是否有无穷个x²+1素数（参见希尔伯特23个问题），而且还与费马数有关（参见下面其它相关书籍）。

这个问题为什么这么困难

与哥德巴赫猜想和孪生素数猜想一样，这个问题的解决依靠（百度百科：素数普遍公式的解决。没有一个可以表示所有素数的普遍公式，问题是不能获得解决（参见素数判定法则）。

X²+1素数的公式

“若自然数n不能被不大于任何素数整除，则n是一个素数”。代数学辞典上海教育出版社 1985年 259页。参见素数。

设n=X²+1。则可以用公式表达：

..........(1)

其中 $p_{1}p_{2}...p_{k}$ 都是素数，最小剩余： $a_{i}\neq -1$ .。

若 也就是  。 则X²+1是一个素数。

我们可以把（1）式内容等价转换成为同余式组表示：

由于（2）的模 $p_{1},p_{2},...,p_{k}$ 都是素数，所以，x在 $p_{1}p_{2}....p_{k}$ 范围内有唯一解。　

例题

　 k=1时，

$x=2m_{1}+0$ 。解得x=2，4，...。 $2^{2}\prec 3^{2}-1$ .得知2²+1=5是素数。而4暂时不是，因为在这个方程中， $4^{2}> 3^{2}-1$ 。不符合 $x^{2}\prec p_{k+1}^{2}-1$ ，。

求得了（3，3²）区间的全部X²+1型素数。

　k=2时，

$x=2m_{1}+0=3m_{2}+0$ ，最小的x=6，而 $6^{2}\succ 5^{2}-1=24$ ，而我们要求 $x^{2}\prec p_{k+1}^{2}-1$ ，所以6暂时不是，无解；

$x=2m_{1}+0=3m_{2}+1$ , .。解得x=4，4²+1=17是素数.。因为 $4^{2}<5^{2}-1$ .

求得了（5，5²）区间的全部素数X²+1型素数（仅有一个17）。

k=3时,其中一组解

。解得，x=6，6²+1=37，是素数。

$x\neq 5m_{3}+2$ ,因为， $(5m+2)^{2}+1$ 可以被5整除。

............。

求得了（7,7²）区间的全部X²+1型素数。

k=4时，其中一组解

。10²+1是素数。

可以求得（11，11²）区间的全部素数。

仿此下去可以求得任意大的数以内的全部X²+1素数。并且一个不漏地求得。

但是，我们不知道是否有无穷多个X²+1素数。

有理域知识

有理域通常称为伽罗华域，只有素数和它们的幂才有有限域。 A²=A×A.(例如A有5个元素的域;0,1,2,3,4),因为减2总是可以用加3代替，反之亦然。对于除法也是一样，因为2的乘法逆元素是3，即2×3=1，所以除以2的除法总是可以用乘以3的乘法表示。

其它书籍相关内容

《数论导引》18页（人民邮电出版社）：是否存在无穷多个x²+1素数，更一般地，如果a，b，c是没有公约数的整数，a是正数，a+b和c不全是偶数，并且b²-4ac不是完全平方数，那么，就有无穷多个形如：ax²+bx+c的素数存在。

《10000个科学难题》数学卷102页，（科学出版社2009年5月第一版）：是否有无穷个正整数x，使得x²+1总是素数？这个问题比孪生素数猜想更加困难，这是因为在正整数中，形如x²+1的数必p+2稀少，所以x²+1为素数的概率更小。

《数论中未解决问题》75页（【加】R.K盖伊著，张明尧译）形如x²+1素数是很少的，但是，如果只有有限个，那么，就可以推出有无限多个费马数是复合数。

X²+1合数与佩尔方程

由于问题的困难，人们开始关注X²+1合数，企图从X²+1合数的蛛丝马迹中寻找X²+1素数。

发现许许多多X²+1合数有平方因子。

例如：

18²+1=325=5²×13；

32²+1=2025=5²×41；

38²+1=1445=5×17²；

68²+1=4625=5³×37；

70²+1=4901=13²×29；....。

这是一个佩尔方程形式：

38²-5×17²=-1；68²-29×13²=-1