当前位置：首页 > news >正文

1.7无穷级数

news 来源：原创 2025/5/28 7:55:50

引言

无穷级数是考研数学一的核心内容，涵盖数项级数、幂级数、傅里叶级数等核心概念。本文系统梳理4大考点，结合公式速查与实战示例，助你高效突破级数难点！

考点一：数项级数敛散性判定

1️⃣ 正项级数

(1) 比较审敛法

公式：

若 $\leq a_n \leq b_n$ ，则：
- $\sum b_n$ 收敛 → $\sum a_n$ 收敛
- $\sum a_n$ 发散 → $\sum b_n$ 发散
  示例：
  判断 $\sum \frac{1}{n^2 + 1}$ 的敛散性。
  解：因 $\frac{1}{n^2 + 1} < \frac{1}{n^2}$ ，而 $\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛，故原级数收敛。

(2) 比值审敛法

公式：
$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rho$

$\rho < 1$ → 收敛
$\rho > 1$ → 发散
$\rho = 1$ → 无法判定
示例：
判断 $\sum \frac{n!}{n^n}$ 的敛散性。
解： $\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^n} = \frac{1}{e} < 1$ ，故收敛。

(3) 积分审敛法

适用场景： $a_n = f(n)$ ，其中 $f (x)$ 在 $+\infty)$ 上非负连续。
步骤：计算 $\int_1^{+\infty} f(x) dx$ ，若积分收敛则级数收敛，反之发散。
示例：
判断 $\sum \frac{1}{x \ln x}$ 的敛散性。
解： $\int_2^{+\infty} \frac{1}{x \ln x} dx = \ln(\ln x) \big|_2^{+\infty} = +\infty$ ，故发散。

2️⃣ 交错级数

(1) 莱布尼兹判别法

条件：

$u_n \geq u_{n+1}$ （单调递减）
$\lim_{n \to \infty} u_n = 0$
结论：若满足条件，则交错级数 $\sum (-1)^{n-1} u_n$ 收敛。
示例：
判断 $\sum (-1)^{n-1} \frac{1}{n}$ 的敛散性。
解： $u_n = \frac{1}{n}$ 单调递减且趋于0，故收敛。

(2) 绝对收敛与条件收敛

绝对收敛：若 $\sum |a_n|$ 收敛，则 $\sum a_n$ 绝对收敛。
条件收敛：若 $\sum a_n$ 收敛但 $\sum |a_n|$ 发散。
示例：
$\sum \frac{(-1)^n}{n}$ 条件收敛（因 $\sum \frac{1}{n}$ 发散）。

3️⃣ 一般级数

(1) 收敛性质

性质	结论
绝对收敛级数	任意加括号后仍绝对收敛
条件收敛级数	加括号可能改变敛散性
收敛 + 收敛	收敛
收敛 + 发散	发散

考点二：幂级数的收敛域与收敛半径

1️⃣ 收敛半径公式

比值法：
$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$
根值法：
$\frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$

示例：
求 $\sum \frac{x^n}{n^2}$ 的收敛半径。
解： $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{1/n^2}{1/(n+1)^2} \right| = 1$ ，故 $R = 1$ 。

2️⃣ 收敛域判定

收敛半径 $R$	判定方法	示例
$R > 0$	端点单独验证	$\sum \frac{x^n}{n}$ 在 $x = 1$ 处发散， $x = - 1$ 处条件收敛
$R = 0$	仅 $x = 0$ 处收敛	$\sum n! x^n$
$+\infty$	全体实数收敛	$\sum \frac{x^n}{n!}$

3️⃣ 逐项积分与求导

性质：

逐项积分后收敛半径不变。
逐项求导后收敛半径不变，但端点可能变化。
示例：
已知 $\sum x^n = \frac{x}{1-x}$ （ $∣ x ∣ < 1$ ），逐项积分得 $\sum \frac{x^{n+1}}{n+1} = -\ln(1-x)$ ，收敛域仍为 $∣ x ∣ < 1$ 。

考点三：幂级数求和函数

1️⃣ 逐项求导法

步骤：

对幂级数逐项求导，化为已知级数形式。
积分还原原函数。
示例：
求 $\sum_{n=1}^\infty n x^{n-1}$ （ $∣ x ∣ < 1$ ）。
解：逐项积分得 $\int S(x) dx = \sum x^n = \frac{x}{1-x}$ ，再求导得 $\frac{1}{(1-x)^2}$ 。

2️⃣ 微分方程法

示例：
求 $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ 。
解：已知 $S(x) = e^x$ ，直接验证满足微分方程 $S^{'} (x) = S (x)$ 。

考点四：狄利克雷收敛定理与傅里叶级数

1️⃣ 狄利克雷收敛定理

条件：

$f (x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上分段光滑。
周期为 $2\pi$ 。
结论：
$\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx) = \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}$

点类型	条件	$S(x_0)$ 与 $f(x_0)$ 的关系
连续点	$f(x_0^-) = f(x_0^+) = f(x_0)$	$S(x_0) = f(x_0)$
跳跃间断点	$f(x_0^-) \neq f(x_0^+)$	$S(x_0) = \frac{f(x_0^-) + f(x_0^+)}{2}$
极值点/振荡点	满足狄利克雷条件	$S(x_0) = f(x_0)$

示例：设 $\begin{cases} 1, & x \geq 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$ ，其傅里叶级数在 $x = 0$ 处收敛于 $\frac{1 + (-1)}{2} = 0$ 。

2️⃣ 傅里叶级数

（1）傅里叶系数

对于周期为 $2 l$ 的函数 $f (x)$ ，其傅里叶级数展开式为：
$\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{l}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{l}\right) \right)$
其中：

基函数： $\cos\left(\frac{n\pi x}{l}\right)$ 和 $\sin\left(\frac{n\pi x}{l}\right)$ 的周期为 $2 l$ 。
系数公式：需通过积分计算，具体如下。

(2) 余弦项系数 $a_n$
$a_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \cos\left(\frac{n\pi x}{l}\right) dx \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$
(3) 正弦项系数 $b_n$
$b_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{l}\right) dx \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$

公式速查表

类型	公式/方法	适用场景
比值审敛法	$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$	正项级数
莱布尼兹判别法	$u_n \geq u_{n+1}$ 且 $lim u_n = 0$	交错级数
收敛半径	$\frac{1}{\lim \sqrt[n]{a_n}}$	幂级数
傅里叶系数	$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos nx dx$	周期为 $2\pi$ 的函数
周期为 $2 l$ 的傅里叶级数	$\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos\frac{n\pi x}{l} + b_n \sin\frac{n\pi x}{l} \right)$	任意周期函数
偶函数展开	$\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos\frac{n\pi x}{l}$	偶函数
奇函数展开	$\sum_{n=1}^\infty b_n \sin\frac{n\pi x}{l}$	奇函数

实战技巧

端点检验：收敛半径计算后，务必验证端点敛散性。
逐项操作：幂级数求和时，优先尝试逐项求导或积分。
对称性简化：奇偶函数傅里叶级数中，仅需计算对应系数。

总结：无穷级数的核心在于灵活应用审敛法、幂级数性质和傅里叶展开。结合几何意义与定理条件，系统攻克级数难题！ 🚀

评论区互动：需要深入解析，欢迎留言交流！ 💬

引言