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算法分析与设计——动态规划复习题（待更新

news 来源：原创 2025/7/27 20:35:34

检测题：

  1. 组合优化问题的目标函数通常不包括以下哪种形式？
    A. 需最小化的代价函数
    B. 需最大化的回报函数
    C. 需满足的硬约束条件
    D. 需最小化的能量函数
    答案：C

  2. 关于约束条件的说法，以下哪项是正确的？
    A. 硬约束可以通过惩罚函数间接处理
    B. 软约束是必须严格满足的条件
    C. 硬约束是必须满足的条件，软约束通过惩罚处理
    D. 所有约束条件都必须转化为硬约束
    答案：C

  3. 动态规划技术特别适合解决以下哪种问题？
    A. 目标函数不明确的组合优化问题
    B. 具有重叠子问题和最优子结构的问题
    C. 仅包含软约束的问题
    D. 需要随机搜索的复杂问题
    答案：B

  4. 组合优化问题中，“可行解”的定义是？
    A. 使目标函数最小的解
    B. 满足所有约束条件的解
    C. 忽略软约束后的近似解
    D. 仅满足硬约束的解
    答案：B

  5. 动态规划的核心思想是：
    A. 通过暴力枚举所有可能的解
    B. 将问题分解为子问题并避免重复计算
    C. 仅处理单一阶段的优化问题
    D. 完全依赖启发式规则
    答案：B

  1. 动态规划的必要条件不包括以下哪一项？
    A. 多阶段决策问题
    B. 子问题之间存在重叠
    C. 目标函数具有最优子结构
    D. 子问题之间完全独立
    答案：D

  2. “最优子结构”性质的含义是？
    A. 问题的最优解包含子问题的最优解
    B. 所有子问题必须完全相同
    C. 问题的规模必须从小到大递增
    D. 必须使用递归方法求解
    答案：A

  3. 动态规划与分治法的本质区别在于？
    A. 动态规划必须使用迭代实现
    B. 分治法要求子问题不重叠
    C. 动态规划需要记录子问题的解
    D. 分治法适用于多阶段决策问题
    答案：B

  4. 以下哪种场景适合动态规划？
    A. 归并排序中对数组的拆分与合并
    B. 斐波那契数列的递归计算（未优化）
    C. 最短路径问题中局部最优导致全局最优
    D. 随机生成解的蒙特卡洛方法
    答案：C

  5. 动态规划“以空间换时间”的核心原因是？
    A. 必须使用贪心策略
    B. 需要存储所有可能的解
    C. 记录子问题的解以避免重复计算
    D. 问题必须分解为固定大小的子问题
    答案：C

判断题

  1. 动态规划必须采用自顶向下的递归实现。
    答案：错误（动态规划通常用自底向上的迭代实现，递归实现需配合记忆化）

  2. 若一个问题没有重叠子问题，动态规划将退化为分治法。
    答案：正确

  3. 最短路径问题的最优子结构性质是指：从起点到终点的最短路径包含路径上任意两点的最短路径。
    答案：正确

填空题

  1. 动态规划的两个必要条件是 最优子结构 和 重叠子问题。
  2. 动态规划通过 记录子问题的解（或记忆化） 来避免重复计算。
  3. 归并排序不属于动态规划应用，因为它 不存在重叠子问题。

应用题

场景：设计一个算法计算斐波那契数列的第 nn 项。

  1. 递归实现（无优化）的时间复杂度是多少？为什么？
  2. 如何用动态规划优化？请说明具体方法及其优势。

参考答案：

  1. 时间复杂度为 O(2n)O(2n)，因为递归过程中存在大量重复计算（如 F(n−2)F(n−2) 被多次计算）。
  2. 使用动态规划：
    • 自底向上迭代：从 F(0)F(0) 和 F(1)F(1) 开始，逐步计算到 F(n)F(n)，保存中间结果。
    • 记忆化递归：在递归中记录已计算的 F(k)F(k) 值，避免重复调用。
    • 时间复杂度优化为 O(n)O(n)，空间复杂度为 O(1)O(1)（迭代法）或 O(n)O(n)（记忆化）。

综合题

问题：分析背包问题（0-1 Knapsack）是否满足动态规划的两个必要条件，并简述动态规划的求解思路。
答案：

  1. 最优子结构：若当前物品是否放入背包的决策能推导出剩余容量和剩余物品的最优解，则满足最优子结构。
  2. 重叠子问题：不同容量和物品组合的子问题可能被多次计算（如容量为 ww 时选择前 ii 个物品）。
    求解思路：
  • 定义 dp[i][w]dp[i][w] 表示前 ii 个物品在容量 ww 下的最大价值。
  • 递推方程：
    dp[i][w]=max⁡(dp[i−1][w],dp[i−1][w−weighti]+valuei)dp[i][w]=max(dp[i−1][w],dp[i−1][w−weighti​]+valuei​)
  • 自底向上填表，最终 dp[n][W]dp[n][W] 即为最优解。

知识点复习：

一、组合优化问题是什么？

   是指在有限的离散解集合中，找到满足约束条件且使目标函数最优（最小化或最大化）的解，而且动态规划是解决组合优化问题的重要工具，组合优化问题 ≈ 在一大堆可能的“组合”里，挑出最好的那个。

1、举个栗子 🌰：

假设你周末要完成3件事：取快递、买菜、去银行。
目标：找出最短路线，少走路！
可能的组合：

  1. 家 → 快递 → 菜场 → 银行 → 家
  2. 家 → 菜场 → 银行 → 快递 → 家
  3. 家 → 银行 → 快递 → 菜场 → 家
    ...（还有很多种顺序）

你需要挨个算每条路线的总距离，然后选最短的那条。这就是一个典型的组合优化问题！

2、为什么难？

如果事情变多（比如有10件事），可能的路线组合会爆炸式增长（比如10! = 362万种）。这时你不可能一个个试，得用“聪明的方法”快速找到最优解。

3、关键点：

  1. 组合：解是多个元素的排列或选择（比如路线顺序、带哪些物品）。
  2. 优化：有明确的目标（比如最短、最便宜、最快）。
  3. 限制条件：必须满足某些规则（比如背包不能超重、时间不能超时）。

4、生活中的组合优化问题：

  • 网购凑满减：怎么选商品凑到满减，花最少的钱？
  • 旅行计划：7天去5个城市，怎么安排路线最省时间？
  • 排课表：如何把课程排进教室，不冲突且教室利用率最高？

5、一句话总结：

组合优化就是——在众多可能的“排列组合”里，用聪明的方法快速找出“最好用”的那个！
（比如你的大脑自动选了最短路线，而不是挨个试走一遍 😉）

二、矩阵链乘法问题

一句话总结：

矩阵链乘法问题就是——找一种给矩阵相乘“加括号”的方式，让总的计算量（乘法次数）最少！

1、举个栗子 🌰：

假设有3个矩阵要连乘：

  • A₁ 是 10×100 的矩阵
  • A₂ 是 100×5 的矩阵
  • A₃ 是 5×50 的矩阵

它们的乘积有两种加括号方式：

  1. (A₁A₂)A₃

    • 先算 A₁A₂：计算量 = 10×100×5 = 5000
    • 再算 (结果)×A₃：计算量 = 10×5×50 = 2500
    • 总计算量 = 5000 + 2500 = 7500

  2. A₁(A₂A₃)

    • 先算 A₂A₃：计算量 = 100×5×50 = 25000
    • 再算 A₁×(结果)：计算量 = 10×100×50 = 50000
    • 总计算量 = 25000 + 50000 = 75000

结论：不同的加括号方式，计算量差了10倍！

2、动态规划解决思路：

  1. 拆分子问题：

    • 用 m[i][j] 表示计算从第 i 到第 j 个矩阵的最小乘法次数。
    • 例如：m[1][3] 表示计算 A₁A₂A₃ 的最小乘法次数。

  2. 递推公式：

    • 如果 i = j（单个矩阵），m[i][j] = 0。
    • 如果 i < j：
      m[i][j] = min{ m[i][k] + m[k+1][j] + (第i个矩阵的行数 × 第k个矩阵的列数 × 第j个矩阵的列数) } 其中 k 是分割点（比如在 A₁ 和 A₂ 之间分割，或在 A₂ 和 A₃ 之间分割）。

  3. 自底向上填表：
    从最小的子问题开始计算（比如先算2个矩阵相乘，再算3个矩阵相乘...）。

3、练习题

选择题

  1. 动态规划解决矩阵链乘法问题的核心思想是：
    A. 暴力枚举所有可能的括号组合
    B. 利用最优子结构和重叠子问题
    C. 直接计算所有矩阵的乘积
    答案：B

  2. 若矩阵链的维度为 <5, 10, 3, 12>，计算 A₁A₂A₃ 的最优分割点 k 是：
    A. 1
    B. 2
    C. 无法确定
    答案：B（计算方式见下边的计算题）

计算题

题目：给定矩阵链 <30×35, 35×15, 15×5>，求最小乘法次数。
步骤：

  1. 计算所有可能的 k 值（分割点）：
    • k=1（分割为 A₁(A₂A₃)）：
      • m[1][1] + m[2][3] + 30×35×5 = 0 + (35×15×5) + 5250 = 2625 + 5250 = 7875
    • k=2（分割为 (A₁A₂)A₃）：
      • m[1][2] + m[3][3] + 30×15×5 = (30×35×15) + 0 + 2250 = 15750 + 2250 = 18000
  2. 最小计算量 = 7875
    答案：7875 次乘法
应用题

题目：给定矩阵链 <10×100, 100×5, 5×50>，写出最优加括号方式。
解答：

  • 最优分割点 k=2（分割为 (A₁A₂)A₃）。
  • 最优解：((A₁A₂)A₃)，总计算量 7500 次乘法。

4、总结

  • 核心目标：通过动态规划找到最优的括号组合，最小化矩阵乘法的计算量。
  • 关键步骤：
    1. 定义子问题 m[i][j]。
    2. 递推公式：遍历所有分割点 k，取最小值。
    3. 自底向上填表，避免重复计算。
  • 实际应用：图像处理、物理模拟等需要高效矩阵运算的场景。

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编程日记 2025/7/26 19:35:05

垂直行业突围：工业软件在汽车、航空领域的 “破壁” 实践

在当今科技高速发展的时代&#xff0c;工业软件已悄然完成从通用工具到垂直行业 “战略武器” 的蜕变。特别是在汽车与航空这两大高端制造领域&#xff0c;工业软件的价值早已超越单纯的效率提升&#xff0c;成为关乎核心技术自主可控的关键要素&#xff0c;一场围绕工业软件的…...

编程日记 2025/7/26 19:35:02

人工智能在智能家居中的应用与发展

随着人工智能&#xff08;AI&#xff09;技术的飞速发展&#xff0c;智能家居逐渐成为现代生活的重要组成部分。从智能语音助手到智能家电&#xff0c;AI正在改变我们与家居环境的互动方式&#xff0c;让生活更加便捷、舒适和高效。本文将探讨人工智能在智能家居中的应用现状、…...

编程日记 2025/7/26 19:35:00

维度建模工具箱 提纲与总结

这里写自定义目录标题 基本概念事实表和维度表BI(Business Intelligence) 产品 事实表事实表的粒度事实表的种类 维度表建模技术基本原则避免用自然键作为维度表的主键&#xff0c;而要使用类似自增的整数键避免过度规范化避免变成形同事实表的维度表 SCD(Slowly Changed Dimen…...

编程日记 2025/7/27 19:44:14

Vue3 源码解析（六）：响应式原理与 reactive

今天这篇文章是笔者会带着大家一起深入剖析 Vue3 的响应式原理实现&#xff0c;以及在响应式基础 API 中的 reactive 是如何实现的。对于 Vue 框架来说&#xff0c;其非侵入的响应式系统是最独特的特性之一了&#xff0c;所以不论任何一个版本的 Vue&#xff0c;在熟悉其基础用…...

编程日记 2025/7/26 9:21:25

规则引擎 - Easy Rules

Easy Rules 依赖demodemo1demo2 总结 Easy Rules 是一个轻量级的 Java 规则引擎&#xff0c;使用简单&#xff0c;适合快速开发和简单的规则场景&#xff0c;适合对于一些判断&#xff0c;是否属于白名单&#xff0c;是否有特殊权限&#xff0c;是否属于当前区域&#xff0c;调…...

编程日记 2025/7/26 11:15:07

uniapp打ios包

uniapp在windows电脑下申请证书并打包上架 前言 该开发笔记记录了在window系统下&#xff0c;在苹果开发者网站生成不同证书&#xff0c;进行uniapp打包调试和上线发布&#xff0c;对window用户友好 注&#xff1a;苹果打包涉及到两种证书&#xff1a;开发证书 和 分发证书 …...

编程日记 2025/7/25 12:42:07

from tensorflow.keras.models import Model中Model报红；以及动态链接库(DLL)初始化例程失败

博主也是网上搜索资料又问的kimi 试了一节课 总结下来&#xff1a; 1、用这句话导入Model from tensorflow.keras.models import Model 2、更新pip pip install --upgrade pip 3、卸载重装tensorflow pip uninstall tensorflow 4、使用阿里云使tensorflow降低到2.8.0&a…...

编程日记 2025/7/26 19:34:54

【初阶数据结构】树——二叉树（上）

文章目录 目录 前言 一、树 1.树的概念与结构 2.树相关术语 3.树的表示 二、二叉树 1.概念与结构 2.特殊的二叉树 3.二叉树存储结构 总结 前言 本篇带大家学习一种非线性数据结构——树&#xff0c;简单认识树和二叉数以及了解二叉树的存储结构。 一、树 1.树的概念与结构 树…...

编程日记 2025/7/26 19:34:52

Debian GNU/Linux的新手入门介绍

Debian GNU/Linux&#xff1a;起源、基本介绍与发行版对比 一、起源与发展历程 Debian GNU/Linux 是现存最古老的 Linux 发行版之一&#xff0c;由 Ian Murdock 于 1993 年 8 月 16 日创立。其名称结合了他的女友&#xff08;后成为妻子&#xff09;Debra 和他自己的名字 Ian…...

编程日记 2025/7/26 19:34:50

13 数据存储单位与 C 语言整数类型：从位到艾字节、常见整数类型及其范围、字面量后缀、精确宽度类型详解

1 数据存储单位 在计算机科学领域&#xff0c;数据存储采用分层级的单位体系&#xff0c;各层级单位以 2 的幂次方为换算基础&#xff0c;而非传统数学中的 10 的幂次方。 以下是常见的数据存储单位介绍&#xff1a; 位&#xff08;bit&#xff0c;b&#xff09;是计算机中的最…...

编程日记 2025/7/26 19:34:48

【CPU】结合RISC-V CPU架构回答中断系统的7个问题（个人草稿）

结合RISC-V CPU架构对中断系统七个关键问题的详细解析&#xff0c;按照由浅入深的结构进行说明&#xff1a; 一、中断请求机制&#xff08;问题①&#xff09; 硬件基础&#xff1a; RISC-V通过CLINT&#xff08;Core Local Interrupter&#xff09;和PLIC&#xff08;Platfor…...

编程日记 2025/7/26 15:02:36

基于unsloth微调一个越狱大模型

网上其实并没有找到现成的开源越狱数据集&#xff0c;所以数据集获取是个麻烦事。想了想easydataset&#xff0c;可能还是不行&#xff0c;easydataset是基于大模型回答的&#xff0c;大模型一般都做了对齐训练&#xff0c;那本地文档生成数据这条路也不可靠。 现成的越狱数据…...

编程日记 2025/7/26 22:13:32

城市客运安全员证适用岗位及要求

城市客运安全员证适用岗位及要求 城市客运安全员证是从事城市公共交通行业安全管理工作的重要资格证书&#xff0c;主要适用于以下岗位&#xff1a; 1. 公交车辆安全员 岗位职责&#xff1a;负责公交车辆运行过程中的安全监督&#xff0c;检查乘客携带物品&#xff0c;防止危…...

编程日记 2025/7/26 22:13:30

UDP协议详解

UDP协议详解 一、理解socket套接字 1.1理解IP ​ 我们都知道在网络中IP用来标识主机的唯一性。那么&#xff1f;这句话该如何理解呢&#xff1f;大家来思考一个问题&#xff1a;计算机之间传输传输数据是目的吗&#xff1f;就好比&#xff0c;你爸叫你给你妈带句话&#xff…...

编程日记 2025/7/26 22:13:28