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探索B-树系列

news 来源：原创 2025/7/7 3:11:23

🌈前言🌈

本文将讲解B树系列，包含 B-树，B+树，B*树，其中主要讲解B树底层原理，为什么用B树作为外查询的数据结构，以及B-树插入操作并用代码实现；介绍B+树、B*树。

📁常见的搜索结构

种类	数据格式	时间复杂度
顺序查找	无要求	O(N)
二分查找	有序	O(logN)
二叉搜索树	无要求	O(N)
二叉平衡树	无要求	O(logN)
哈希	无要求	O(1)

以上数据结构适用于数据量不大的情况下，能够一次性存放在内存中，进行数据查找的场景。

对内存进行访问是很快的，纳秒级别（10^-9）。但是同样时间内，访问磁盘的时间是很慢的，毫秒级别（10^-3）。

从表格可以看出，高效的查找结构是二叉平衡树和哈希表，但是他们都有一定的缺点。

对于二叉平衡树，时间复杂度还是很高，例如10亿的数据可能需要30次磁盘访问，这是难以接受的结果。

哈希表时间复杂度很低，但是哈希存在哈希冲突的问题，在某些极端场景下，某个位置冲突很多，导致访问次数剧增，也难以接受。

因此，就有了B-树系列，通过压缩树的高度，来减少磁盘访问次数，提高对数据的访问速度。

📁 B树

📂概念

1970年，R.Bayer和E.mccreight提出了一种适合外查找的树，它是一种平衡的多叉树，称为B树。

一棵m阶(m>2)的B树，是一棵平衡的M路平衡搜索树，可以是空树或者满足一下性质：

1. 根节点至少有两个孩子

2. 每个分支节点都包含k-1个关键字和k个孩子，其中 ceil(m/2) ≤ k ≤ m ceil是向上取整函数

3. 每个叶子节点都包含k-1个关键字，其中 ceil(m/2) ≤ k ≤ m

4. 所有的叶子节点都在同一层

5. 每个节点中的关键字从小到大排列，节点当中k-1个元素正好是k个孩子包含的元素的值域划分

6. 每个结点的结构为：（n，A0，K1，A1，K2，A2，… ，Kn，An）其中，Ki(1≤i≤n)为关键字，且Ki<Ki+1(1≤i≤n-1)。Ai(0≤i≤n)为指向子树根结点的指针。且Ai所指子树所有结点中的关键字均小于Ki+1。n为结点中关键字的个数，满足ceil(m/2)-1≤n≤m-1。

📂 插入

插入流程：

1. 如果树为空，直接插入新节点，作为根节点。

2. 树非空，找到待插入元素在树的插入位置（维护B树的性质，一定要在叶子节点中插入）

3. 找到元素要插入的节点cur后，插入元素，注意元素一定是从小到大排序的。

4. 检测该节点cur是否满足B树性质：即节点中元素个数是否等于M，如果小于则满足

5. 如果不满足，就进行分裂：

a. 申请新节点brother。

b. 找到cur节点中间位置mid，mid之后的元素和孩子节点移到brother中。

c. mid元素及brother节点插入到上层节点parent，重复上述操作，指导节点满足B树性质。

一下代码是为了更好理解 B-树插入流程，并不是为了造更好的轮子，但是整体结构上大致是一样的。

template<class K, int M>
struct BTreeNode
{typedef BTreeNode<K, M> Node;K _keys[M];Node* _subs[M + 1];size_t _n = 0;Node* _parent = nullptr;BTreeNode(){for (int i = 0; i < M; ++i){_keys[i] = K();_subs[i] = nullptr;}_subs[M] = nullptr;}
};template<class K,int M = 3>
class BTree
{typedef BTreeNode<K, M> Node;
public:pair<Node*, int> Find(const K& key){Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){size_t i = 0;while(i < cur->_n){if (key < cur->_keys[i]){break;}else if (key > cur->_keys[i]){++i;}else{return make_pair(cur, i);}}parent = cur;cur = cur->_subs[i];}return make_pair(parent, -1);}void insertKey(Node* node , const K& key , Node* child){int end = node->_n - 1;while (end >= 0){if (node->_keys[end] >= key){node->_keys[end + 1] = node->_keys[end];node->_subs[end + 2] = node->_subs[end + 1];--end;}else{break;}}node->_keys[end + 1] = key;node->_subs[end + 2] = child;if (child)child->_parent = node;++node->_n;}bool insert(const K& key){if (_root == nullptr){_root = new Node();_root->_keys[0] = key;_root->_n = 1;return true;}//去重pair<Node*, int> it = Find(key);if (it.second != -1){return false;}Node* cur = it.first;insertKey(cur, key, nullptr);//节点未满，可以继续存放关键码 , 不需要分裂直接返回if (cur->_n != M){return true;}//节点满了，向左 向上分裂//1. 找到节点数据域中间位置//2. 给一个新节点，将中间位置以后数据移动到brother //3. 中间位置数据移动到父节点//4. 节点连接while (cur->_n == M){Node* brother = new Node;size_t mid = cur->_n >> 1;int i = mid + 1, j = 0;while (i < M){//cur 把关键字及其左孩子给brotherbrother->_keys[j] = cur->_keys[i];brother->_subs[j++] = cur->_subs[i];cur->_keys[i] = K();cur->_subs[i] = nullptr;++i;}//最后处理一下最右位置的孩子brother->_subs[j] = cur->_subs[i];cur->_subs[i] = nullptr;K midKey = cur->_keys[mid];cur->_keys[mid] = K();brother->_n = j;cur->_n = cur->_n - j - 1;Node* parent = cur->_parent;if (parent == nullptr){//分裂的是根节点_root = new Node;_root->_keys[0] = midKey;_root->_subs[0] = cur;_root->_subs[1] = brother;_root->_n = 1;cur->_parent = _root;brother->_parent = _root;}else{//不是根节点 处理完当前层后，继续往上处理insertKey(parent, midKey, brother);cur = parent;parent = cur->_parent;}}return true;}private:Node* _root = nullptr;
};

B-树效率是很高的，大多数场景下，M设为1024，因此对于10亿的数据量，我们只需要3次磁盘访问即可，对比二叉平衡树的十几次的磁盘访问是很快的，大大减少了读取磁盘的次数。

📁 B+树

B+树是B树的变形，是在B树基础上优化的多路平衡搜索树，B+树的规则跟B树基本类似，但是又在B树的基础上做了以下几点改进优化：

1. 分支节点的子树指针与关键字个数相同
2. 分支节点的子树指针p[i]指向关键字值大小在[k[i]，k[i+1])区间之间
3. 所有叶子节点增加一个链接指针链接在一起
4. 所有关键字及其映射数据都在叶子节点出现

B+树的特性：
        1. 所有关键字都出现在叶子节点的链表中，且链表中的节点都是有序的。
        2. 不可能在分支节点中命中。
        3. 分支节点相当于是叶子节点的索引，叶子节点才是存储数据的数据层。

B+树的分裂：
当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针。

📁 B*树

B*树是B+树的变形，在B+树的非根和非叶子节点再增加指向兄弟节点的指针。

B*树的分裂：
当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针。
所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高；

📁 总结

        B树：有序数组+平衡多叉树；
        B+树：有序数组链表+平衡多叉树；
        B*树：一棵更丰满的，空间利用率更高的B+树。

此外，B-树最常见的应用就是用来做索引。MySQL官方对索引的定义为：索引(index)是帮助MySQL高效获取数据的数据结构，简单来说：索引就是数据结构。

🌈前言🌈