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1.6 偏导数

news 来源：原创 2025/7/20 1:11:48

（铺垫）全导数与偏导数看似相似，实则对应不同维度的变化观察。理解它们的差异需要从"变量自由度"切入：

（核心差异解剖）

维度偏导数全导数
变量关系其他变量被强制锁定所有变量都通过中间变量关联变化
观察视角显微镜下的局部切片无人机航拍的整体运动轨迹
数学表达∂z/∂x = lim(Δx→0) [f(x+Δx,y)-f(x,y)]/Δxdz/dt = (∂z/∂x)(dx/dt) + (∂z/∂y)(dy/dt)
物理实例固定经度时的纬度温度变化率飞机飞行时高度随时间的总变化率

（链式法则破局）
假设z=f(x,y)，而x=g(t), y=h(t)：

  • 偏导数∂z/∂x：固定时间t，单独改变x引起z的变化
  • 全导数dz/dt：当时间t流逝时，x和y都随时间变化，导致z的总变化率
  • 关键公式：dz/dt = (∂z/∂x)(dx/dt) + (∂z/∂y)(dy/dt) → 像多股绳子同时拉扯物体

（机器学习中的具象化）
在RNN时间序列预测中：

  • 偏导数：计算t时刻权重对损失的影响时，冻结其他时刻的权重
  • 全导数：BPTT算法中，考虑权重在时间维度上的连锁影响（需要沿时间链展开）

（经典案例演示）
设z = x²y + sin(y)，其中x = e^t，y = t³：

  1. 偏导数计算：
    • ∂z/∂x = 2xy → 固定y，仅看x的影响
    • ∂z/∂y = x² + cos(y) → 固定x，仅看y的影响
  2. 全导数计算：
    dz/dt = (2xy)(e^t) + (x² + cos(y))(3t²)
    = 2et·t³·et + (e^{2t} + cos(t³))·3t²

（比喻）
想象开车时看导航：

  • 偏导数：分别观察"踩油门对油耗的影响"（固定方向盘）和"开空调对油耗的影响"（固定油门）
  • 全导数：实际驾驶中，边踩油门边开空调边转弯时的总油耗变化率
    → 前者是实验室条件下的单项测试，后者是真实路况的综合结果

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